SPI非言語「確率・場合の数」：樹形図と公式の使い分けを例題で練習する

樹形図と公式、どちらを選べばよいか

確率・場合の数の問題で最初に悩むのが「どちらの方法で解くか」という選択です。両方が使える問題も多いので、切り替えの判断基準を持っておくと時間のロスが減ります。

一つの目安として、次のように考えると整理しやすいです。全体の場合の数が少なく（目安として20通り以下程度）、条件が「連続している」「重複しない」「特定の並びを除く」など複雑なときは、樹形図で書き出した方が見落としが減ります。一方、「○個から□個を選ぶ」「並べる」という構造がはっきりしており、除外条件が少ないときは組み合わせや順列の公式の方がスピーディーです。

樹形図の書き方：手順と注意点

樹形図は「最初の選択肢」から順番に枝を伸ばし、あり得る全パターンを書き出す図です。書くときのポイントは次の3点です。

• 最初の分岐を統一した順序（例：小さい数・アルファベット順など）で並べ、あとで飛びがないか確かめやすくする
• 1段ずつ枝を増やし、条件を満たさない枝はその場で切る（これを「枝切り」と呼びます）
• 書き終えたら、末端の数を数えて全体の場合の数を求める

ミスが出やすい箇所は「同じパターンを2回書く」「条件に引っかかる枝を切り忘れる」の2点です。1行ずつ確認しながら書く習慣をつけると防ぎやすくなります。

公式の使い方：順列と組み合わせの違い

順列（P）は「並べる」問題、組み合わせ（C）は「選ぶだけで順序を問わない」問題に使います。この区別が公式を選ぶ最初の判断です。

確率を求める場合は「求めたい場合の数 ÷ 全体の場合の数」が基本の式です。分母と分子で同じ基準（順列同士、または組み合わせ同士）を使っていないと答えが合わなくなるため、計算前に確認する癖をつけましょう。

独自の練習問題：判断から計算まで通しで練習する

以下は独自の練習問題です。本番問題の再現ではありません。解法の手順を確認する目的で使ってください。

【独自の練習問題】 A・B・C・D・Eの5人から3人を選んでリレーの走順を決めます。 （1）走順も含めると何通りの決め方がありますか。 （2）AとBが同時に選ばれる走順は何通りありますか。 （3）Aが必ず1走目になる走順は何通りありますか。

【解答と計算過程】 （1）5人から3人を選んで並べる＝順列の問題です。 5P3 ＝ 5×4×3 ＝ 60通り 検算：5人から1人目を選ぶと5通り、残り4人から2人目は4通り、残り3人から3人目は3通り。5×4×3＝60。一致します。 （2）AとBの両方が選ばれる場合を数えます。 残り1人はC・D・Eの3人から1人選ぶ＝3通り。 選ばれた3人（A・B・もう1人）の並べ方＝3P3＝3×2×1＝6通り。 合計：3×6＝18通り 検算：（A・B・C）（A・B・D）（A・B・E）の各組から並べ方が6通りずつ。6×3＝18。一致します。 （3）1走目がAと決まっているので、残り2席をB・C・D・Eの4人から2人選んで並べます。 4P2 ＝ 4×3 ＝ 12通り 検算：樹形図でAを固定し、2走目に残り4人、3走目に残り3人を順に並べる。4×3＝12。一致します。

（1）は条件が少なく整理された形なので公式が速いです。（2）（3）は「条件を先に処理してから公式を使う」組み合わせが有効です。条件付きの問題では、確定している箇所を先に固定してから残りを数えるのが基本の流れです。

つまずきやすいパターンと直し方

確率・場合の数で繰り返しミスが出る場合、原因は大きく3つに分かれます。

• 同じものを重複して数える：樹形図で「A→B」と「B→A」を別々に書くべき問題と、同じとみなすべき問題を混同している。問題文の「並べる」か「選ぶ」かをもう一度読み直す
• 分母と分子の基準がずれている：確率の計算で分母を組み合わせで、分子を順列で計算しているなど。どちらかに統一されているか毎回確かめる
• 条件を満たさない枝を切り忘れる：特定の人を除く・連続して選ばないなどの条件を、計算の途中で反映し忘れる。先に条件を書き出してから図や計算を始めると防ぎやすい

ミスのパターンが決まっている場合、問題集の解き直しで「どこで間違えたか」を1行単位で確認すると、自分のクセが見えてきます。

次の練習ステップ：小さく積み上げる

樹形図と公式の使い分けを体感するには、同じ問題を「まず樹形図」「次に公式」の順で両方解いてみる練習が一つの方法です。答えが一致することを確かめながら、自分がどちらをより速く正確に使えるかを把握できます。

慣れてきたら、問題を見た瞬間に「この問題は公式で整理できるか、条件が複雑で樹形図が安全か」を判断する習慣をつけていきましょう。判断に迷ったときは樹形図に戻る、という使い方でも十分です。