SPI非言語「順列・組み合わせ」：PとCの使い分けを例題で習得する

PとCの使い分けは「順番の有無」だけで決まる

順列（P）と組み合わせ（C）の違いを一言で表すと、「選んだものの並び順が意味を持つかどうか」です。

• 順列（P）：並び順が違うと別の結果になる場合に使う。たとえば「1位・2位・3位を決める」「4桁の数字を作る」など。
• 組み合わせ（C）：並び順を問わず、選んだメンバーの組み合わせだけが意味を持つ場合に使う。たとえば「委員を選ぶ」「チームを作る」など。

問題文を読んで「AとBを選ぶ」と「BとAを選ぶ」が同じ結果かどうか確認する癖をつけると、判断の精度が上がります。

公式を確認する：P と C の計算式

以下の公式は一般的な組み合わせ論の基本です。nは全体の数、rは選ぶ数を表します。

• 順列：nPr ＝ n! ／ (n－r)!　（n個からr個を選んで並べる場合の数）
• 組み合わせ：nCr ＝ n! ／ {r! × (n－r)!}　（n個からr個を選ぶ場合の数）
• 関係：nCr ＝ nPr ÷ r!　（組み合わせは順列をr!で割ったもの）

例題で確認する：P を使う問題と C を使う問題

【架空の例】以下の2問は、似た条件設定ですが使う公式が異なります。

例題①（順列）：A・B・C・D・Eの5人の中から3人を選んで1列に並べる。並び方は何通りあるか。

解答：並び順が違えば別の結果になるため、順列を使います。 5P3 ＝ 5! ÷ (5－3)! ＝ (5×4×3×2×1) ÷ (2×1) ＝ 120 ÷ 2 ＝ 60通り 検算：5×4×3 ＝ 60 ✓

例題②（組み合わせ）：A・B・C・D・Eの5人の中から3人を選んで委員会を作る。選び方は何通りあるか。

解答：委員会は誰が選ばれるかだけが重要で、並び順は関係ないため、組み合わせを使います。 5C3 ＝ 5! ÷ (3! × 2!) ＝ 120 ÷ (6×2) ＝ 120 ÷ 12 ＝ 10通り 検算：5P3 ÷ 3! ＝ 60 ÷ 6 ＝ 10 ✓

独自の練習問題：判断から計算まで通して解いてみる

【独自の練習問題】以下の2問に取り組んでください。まず「PかCか」を判断してから計算します。

問題①：赤・青・黄・白・黒の5色のペンの中から2色を選んで、「1番目の色」「2番目の色」と順番をつけて並べる。何通りあるか。

問題②：男子4人・女子3人の計7人の中から、男子2人・女子1人の計3人を選んでグループを作る。何通りあるか。

解答①：「1番目・2番目」という順番があるため、順列を使います。 5P2 ＝ 5 × 4 ＝ 20通り 検算：5! ÷ 3! ＝ 120 ÷ 6 ＝ 20 ✓

解答②：グループの構成を決める問題なので並び順は不要です。男子と女子を独立して組み合わせます。 男子4人から2人を選ぶ：4C2 ＝ 4! ÷ (2! × 2!) ＝ 24 ÷ 4 ＝ 6通り 女子3人から1人を選ぶ：3C1 ＝ 3通り 合計：6 × 3 ＝ 18通り 検算：4C2 ＝ (4×3) ÷ (2×1) ＝ 12 ÷ 2 ＝ 6 ✓、6 × 3 ＝ 18 ✓

つまずきやすいポイントと修正の視点

順列・組み合わせでミスが続く場合、「問題文を最後まで読まずにPを使う」か「全部Cで解いてしまう」というパターンに陥りやすいことがあります。

• 「選ぶ」という動詞だけを見てCと判断しない。「選んで並べる」「選んで順位をつける」はP。
• 「何通りあるか」という問いに対して、まず結果として何が違うと別カウントになるか確認する。
• 「A,B」と「B,A」が問題設定上で同じかどうかを一度言葉で確認してから式を立てる。
• 複数のグループに分ける問題は、グループごとにCを計算してから掛け算で合計する。

問題文を読んで迷ったときは、具体的に小さい数（2〜3人）で試して数え上げ、その数がPとCのどちらと一致するかを確認する方法も一つの目安です。

次にやること：判断→計算の流れを繰り返し練習する

順列と組み合わせの習得には、公式を覚えるより「PかCか」の判断を自動化することが先決です。まずこの記事の例題と練習問題を紙に書いて解き直してみてください。

• ステップ1：問題文を読んで「PかCか」を声に出して判断する習慣をつける。
• ステップ2：公式を使って計算し、別の方法（数え上げや逆算）で検算する。
• ステップ3：参考書の演習問題で「並び順あり」「並び順なし」「グループ分け」の3パターンを意識しながら解く。

計算自体は慣れれば速くなります。今は判断の精度を優先して、1問ずつ丁寧に取り組むことをおすすめします。